Divertindo-se com a teoria da relatividade especial

Autor: 
John Zavisa

O terrível paradoxo dos irmãos gêmeos
Como a relatividade especial diz que dois observadores diferentes têm um direito igual de enxergar um evento levando em consideração seus próprios referenciais, acabamos em vários paradoxos não tão aparentes. Com um pouco de paciência, podemos demonstrar que a maioria desses paradoxos têm respostas lógicas que estão de acordo com o resultado previsto pela Relatividade Especial e com o resultado observado na prática. Vamos dar uma olhada no mais famoso destes paradoxos: o paradoxo dos irmãos gêmeos.

Suponhamos que dois gêmeos, José e Paulo, têm o mesmo referencial na Terra. José está sentado em uma espaçonave, enquanto Paulo está de pé no chão. Eles têm relógios idênticos e os sincronizam. Após a sincronização, José decola e ruma para as estrelas a 60% da velocidade da luz. Enquanto José viaja, os gêmeos têm o direito de achar que o outro está passando pelos efeitos relativísticos (contração de Lorentz e dilatação do tempo). E para simplificarmos o exercício, vamos presumir que eles têm um método preciso para medir estes efeitos. Se José nunca retornar, nunca saberemos quem é que realmente viveu estes efeitos. Mas o que aconteceria se ele virasse a espaçonave e retornasse para a Terra? Ambos estariam de acordo quanto ao fato de que José envelheceu mais lentamente do que Paulo, o que implica que o tempo passou mais lentamente para José. E para provar isso, tudo o que eles têm de fazer é olhar seus relógios: o de José vai mostrar que ele levou menos tempo para ir e voltar, pois terá uma contagem inferior à de Paulo. Enquanto Paulo esperava, o tempo passou mais rápido para ele do que para José. Mas por que isso acontece se os dois estavam viajando a 60% da velocidade da luz, levando-se em consideração o referencial de cada um em relação ao outro?

A primeira coisa a se entender é que a aceleração é um pouco complicada na Relatividade Especial (é mais fácil lidar com ela na Teoria da Relatividade Geral). Veja bem, não estou dizendo que a Relatividade Especial não consegue lidar com a aceleração, porque ela consegue. Na Relatividade Especial, dá para descrever a aceleração em termos de referenciais inerciais "co-movidos" localmente, o que permite à Relatividade Especial ver todo o movimento como algo uniforme (velocidade constante, sem aceleração). A segunda coisa a se entender é que a Relatividade Especial é uma teoria, como o nome diz, "especial". O que quero dizer com isso é que ela se aplica a situações em que não há gravidade, em que o espaço-tempo é plano. Já na Relatividade Geral, Einstein unificou a aceleração e a gravidade, o que torna minha frase anterior redundante. De qualquer maneira, é por causa da falta de gravidade que essa teoria se chama "Relatividade Especial". Mas vamos voltar ao paradoxo. Embora um tenha visto o outro encolhendo e diminuindo a velocidade, quem realmente passou pela aceleração para atingir a alta velocidade foi o gêmeo que envelheceu menos. Se nos aprofundarmos no mundo da Relatividade Especial, vamos perceber que não é a aceleração que importa, mas a mudança de referencial. Até que José e Paulo voltassem a um referencial em que seu movimento relativo fosse igual a zero (em que um estivesse de pé ao lado do outro), um sempre discordaria do que o outro dissesse ter visto. Por mais estranho que possa parecer, na verdade, não há conflito nenhum: ambos observaram que era o outro quem experimentava os efeitos relativísticos. Uma técnica normalmente usada para exibir a dinâmica existente no Paradoxo do Irmão Gêmeo é um conceito chamado de Efeito Doppler Relativístico.

O efeito Doppler afirma basicamente que é possível observar uma mudança de freqüência nas ondas eletromagnéticas causada pelo movimento. A direção dessa mudança depende do movimento relativo estar indo na sua direção ou na direção oposta. Além disso, a amplitude da alteração depende da velocidade da fonte (ou da velocidade do receptor). Um bom início para compreender o efeito Doppler seriam as ondas sonoras. Há um exemplo do Efeito Doppler associado a essas ondas que acho que você vai reconhecer facilmente. Quando uma fonte que emite som se aproxima de você, a freqüência do som aumenta e, da mesma maneira, quando uma segunda fonte emissora se distancia de você, a freqüência do som diminui. Pense num trem se aproximando e tocando a buzina. Conforme ele se aproxima, você ouve o tom da buzina como uma nota aguda, e conforme ele passa por você, dá para ouvir o tom da buzina mudar para uma nota mais grave. Outro exemplo acontece quando os carros correm ao redor da pista do autódromo. Dá para ouvir uma alteração no som conforme um carro passa por onde você está parado. Um último exemplo é a mudança no tom da sirene que você ouve quando um carro de polícia passa por você. Tenho certeza de que em algum momento de nossas vidas, todos já imitamos o som de um carro ou camburão da polícia passando. O que não sabíamos é que tinhamos imitado o Efeito Doppler. O efeito Doppler também afeta a luz (radiação eletromagnética) da mesma maneira, mas com uma exceção crítica:  a alteração causada não permite que você determine se a fonte de luz está se aproximando de você ou se você é quem está se aproximando dela (com as mesmas relações valendo para o distanciamento). Bem, isto posto, vamos olhar a fig. 7 abaixo.


Na parte superior da fig. 7, dá para ver uma fonte de luz imóvel emitindo luz em todas as direções. Já na segunda parte, o que vemos é a fonte "S" se movendo para a direita e as ondas de luz se alteram (parece que elas estão sendo comprimidas na parte da frente e arrastadas na parte de trás). Se você for em direção à fonte de luz ou se ela for na sua direção, a freqüência da luz parece que aumenta (repare que as ondas na frente estão mais juntas do que as de trás). E o contrário também é verdade para uma fonte de luz que está se distanciando de você ou da qual você está se distanciando. A importância da alteração de freqüência é que, se a freqüência aumentar, levará menos tempo para completar um ciclo (oscilação). Da mesma maneira, se a freqüência diminuir, o tempo necessário para completar um ciclo será maior.

Agora vamos aplicar essas informações ao Paradoxo dos Irmãos Gêmeos. Lembre-se de que José viajou a uma velocidade igual a 60% da velocidade da luz. Escolhi esta velocidade específica porque a relação do efeito Doppler relativístico correspondente é "2 x" para uma fonte se aproximando e "0,5 x" para uma se distanciando. Isso significa que se a fonte estiver se aproximando de você, a freqüência vai aparecer dobrada (e o tempo dividido pela metade), e se a fonte estiver se distanciando de você, a freqüência irá aparecer dividida pela metade (e o tempo é dobrado). De maneira semelhante, eu poderia ter usado qualquer velocidade para o paradoxo. Por exemplo, 80% da velocidade da luz levaria a um efeito Doppler de "3" e "1/3" para aproximação e distanciamento, respectivamente. Não custa nada lembrar: a direção da alteração do efeito Doppler depende da direção da fonte, enquanto a amplitude dessa alteração aumenta com a velocidade da fonte.

Vamos fazer outra viagem com os gêmeos, mas dessa vez José vai viajar 12 horas na ida e 12 horas na volta, com esse tempo sendo medido no relógio dele. A cada hora, ele irá enviar um sinal de rádio para Paulo dizendo que horas são. Um sinal de rádio é mais outra forma de radiação eletromagnética, o que significa que também viaja na velocidade da luz. O que vai acontecer enquanto José se distancia de Paulo? Quando o relógio de José marcar "uma hora" de viagem, ele envia o primeiro sinal, e como está se distanciando de Paulo a 60% da velocidade da luz, o Efeito Doppler relativístico faz com que Paulo observe a transmissão de José como se ela tivesse metade do valor da fonte. A partir da nossa discussão acima, metade da freqüência significa que o tempo é duas vezes mais longo: assim, Paulo recebe o sinal de "1 hora" de José quando o relógio dele estiver marcando "2 horas". Quando José envia o sinal de "2 horas", Paulo o recebe quando for sua "hora 4". Acho que dá para você ver como a relação está se desenvolvendo. Para cada sinal de 1 hora do relógio de José, o tempo passado para Paulo é o dobro (2 horas). Quando o relógio de José marcar "12 horas" de viagem, ele terá enviado 12 sinais. Mas para Paulo, por outro lado, ter recebido os 12 sinais significa que 24 horas se passaram, já que eles chegaram para ele de 2 em 2 horas. E eis que José faz uma curva de 180º e começa a voltar, sempre enviando sinais de hora em hora, da mesma forma que antes. Como agora ele está se aproximando de Paulo, o efeito Doppler fará com que este veja a freqüência com o dobro do valor da fonte. Como o dobro da freqüência é o mesmo que metade do tempo, Paulo vai receber os sinais que José envia a cada "uma hora", com intervalos de 30 minutos. Quando a viagem de volta (que dura 12 horas) tiver acabado, José terá mandado 12 sinais, que Paulo recebeu direitinho, mas com intervalos de 30 minutos entre cada um deles, o que significa que para ele 6 horas se passaram. Agora veja que interessante: se somarmos o tempo total que passou para os gêmeos, veremos que enquanto 24 horas (12 + 12) se passaram para José, 30 horas (24 + 6) se passaram para Paulo. Por isso, Paulo agora está mais velho do que seu irmão gêmeo idêntico. Se José tivesse viajado para mais longe e mais rapidamente, a dilatação de tempo teria sido ainda maior. Vamos observar os gêmeos novamente, mas agora José vai viajar 84 horas na ida e 84 na volta (de acordo com o relógio dele) a 80% da velocidade da luz. A viagem total para José terá durado 168 horas, enquanto o tempo que passou para Paulo terá sido de 280 horas; ou seja, de acordo com o relógio de José, ele ficou fora uma semana, mas, de acordo com o relógio de Paulo, o tempo passado foi de 1 semana, 4 dias e 16 horas. E não se esqueça de que Paulo receberá os sinais enviados por José com metade da freqüência, o que significa o dobro do tempo. Portanto, Paulo recebe os 84 sinais (que José manda de hora em hora) a cada 3 horas (do relógio de Paulo), o que dá um total de 252 horas (3 é a alteração do efeito Doppler relativístico para 80% da velocidade da luz). Da mesma maneira, Paulo recebe os sinais da viagem de volta a cada 20 minutos, o que dá um total de 28 horas (20 minutos é a alteração do efeito Doppler relativístico de 1/3 que ocorre na viagem de volta). Agora você já sabe o tempo total da viagem de ida e volta, visto da perspectiva de Paulo: 252 + 28 = 280 horas ou 1 semana, 4 dias e 16 horas. José, por sua vez, viajou 84 horas na ida e 84 horas na volta, totalizando 168 horas ou 1 semana.

Agora vamos dar mais uma olhada nos gêmeos, só que desta vez quem está enviando o sinal a cada hora é Paulo (de acordo com o relógio dele). O que José vai ver? Quando a viagem de ida chegar ao fim, o relógio de Paulo vai marcar 15 horas e ele terá enviado 15 sinais. José, no entanto, vai alegar que recebeu 6 sinais a intervalos de 2 horas (de novo, a alteração do efeito Doppler relativístico) durante um total de 12 horas. E onde foram parar os outros 9 sinais? Eles ainda estão indo na direção do José. Por isso, quando José começar a viagem de volta, vai encontrar os nove sinais que faltam e os 15 novos sinais que Paulo enviou durante as 15 horas que o seu relógio registrou para essa viagem de volta. Resumindo, José recebe 24 sinais a intervalos de 30 minutos num tempo total de 12 horas. Como no exemplo anterior, todos esses 24 sinais foram alterados pelo efeito Doppler para uma freqüência maior porque José agora está se aproximando deles. E se somarmos o que aconteceu na viagem inteira, Paulo enviou um sinal a cada hora durante trinta horas, mas José recebeu 6 sinais a intervalos de 2 horas e 24 sinais a intervalos de 30 minutos. Paulo enviou 30 sinais em 30 horas e José recebeu 30 sinais em 24 horas. O resultado é exatamente igual aos experimentos anteriores, mas os gêmeos não chegam a um acordo em relação a quando terminou a viagem de ida e começou a de volta. Levando isso em consideração, chegamos à conclusão de que a alteração de referencial para José (da ida para a volta) é o que o diferencia de Paulo. Para Paulo, não ocorreu nenhuma mudança. Não importa a maneira pela qual você observa a situação, ele espera 30 horas. José, porém, muda sua situação. Ele muda de um referencial em que está se distanciando para um referencial em que está se aproximando. É essa mudança que quebra a simetria existente entre José e Paulo e elimina o paradoxo.

Antes de partirmos para o próximo conceito, quero ter certeza de que algumas coisas sobre a Relatividade Especial e a velocidade da luz foram bem compreendidas. Primeiro, a Relatividade Especial prevê a destruição de qualquer coisa com massa que se aproxime da velocidade da luz partindo de uma velocidade menor. Isso ocorre devido à contração de Lorentz e à dilatação do tempo, mas o interessante é que não há problema nenhum com velocidades maiores do que a velocidade da luz. Imagine a velocidade da luz como uma barreira. A Relatividade Especial permite a existência de ambos os lados da barreira, mas nenhum dos lados pode atravessar o outro. Até o presente momento, não se descobriu nada que exista do lado de lá (mais rápido do que a luz), e só existem teorias sobre partículas (táquions) que possam existir lá. E, quem sabe, talvez um dia, alguém descubra sua existência real.

Segundo, as velocidades de um referencial diferente não podem ser somadas. Por exemplo, se eu corresse a 5 km/h e, ao mesmo tempo, jogasse uma pedra a outros 5 km, a única razão de você (que está parado no seu canto) poder dizer que a pedra viaja a 10 km/h é porque essa velocidade é insignificante em relação à velocidade da luz. Para fazer a transformação de um referencial ao outro usando a velocidade relativa desses referenciais, precisamos das Transformações de Lorentz. Estas transformações nos dizem, de forma matemática, que embora o erro na soma direta seja pequeno demais para detectarmos quando as velocidades são lentas, o erro poderia ficar bem grande se estivéssemos lidando com velocidades mais rápidas. Isso quer dizer que a mecânica clássica, aquela que nos ensina a somar essas velocidades, está incorreta. Podemos até fazer essas somas, mas acaba sendo uma daquelas situações em que chegamos ao lugar certo pelo caminho errado.

O paradoxo dos gêmeos usando eventos simultâneos
A simultaneidade (ou a falta dela) é uma ferramenta fantástica para entender muitos dos paradoxos associados com a Relatividade Especial. E a verdade é que, se eu não quiser deixar passar nada, a simultaneidade deve ser levada em consideração em todos os eventos da Relatividade Especial com referenciais diferentes. Vamos voltar ao paradoxo dos gêmeos (José viaja 12 horas na ida a 60% da velocidade da luz e retorna com a mesma velocidade). Basicamente, há três referenciais para estudarmos. O primeiro, quando os gêmeos estão na Terra sem que haja nenhuma velocidade relativa entre eles. O segundo, quando José embarca na viagem de ida. O terceiro, quando José (após virar instantaneamente) começa a viagem de volta. Estou usando o mesmo exemplo anterior, a única diferença é que agora vou usar os números das Transformações de Lorentz para explicar o fenômeno observado, em vez do Efeito Doppler Relativístico.

1º referencial:

Tanto Paulo quanto José concordam em tudo o que observam. Isso não deve ser difícil de entender já que não há velocidade relativa entre os dois. Eles estão se movendo juntos.

2º referencial:

José faz uma viagem de ida que dura 12 horas de acordo com seu relógio. Com os dois postulados em mente, vamos perceber que Paulo observa uma dilatação de tempo para essa viagem de ida de José. Por isso, se José registrar 12 horas, Paulo registrará 15 horas. Outra coisa a lembrar é que a 60% da velocidade da luz, a dilatação de tempo será de 80%. Então, se José registrar seu tempo como 12 horas, isso é 80% do tempo que Paulo registra: 15 horas. Mas qual a observação do tempo do Paulo, a partir do ponto de vista do José? José enxerga a dilatação de tempo afetando Paulo. Enquanto ele contabiliza 12 horas em sua viagem, observa 9,6 horas (80% do tempo do seu relógio) no tempo do Paulo.

Totais do 2º referencial:

Paulo mede seu tempo como 15 horas, mas mede o de José como 12. José mede seu tempo como 12 horas, mas mede o de Paulo como 9,6.

Está claro que o evento, que é o final da viagem de ida, não é simultâneo. João acha que o tempo de Paulo é 9,6 horas, mas Paulo acha que seu próprio tempo corresponde a 15 horas. Além disso, ambos acham que o tempo de José corresponde a 12 horas, o que não está de acordo com nenhum dos dois tempos.

3º referencial:

Da perspectiva de Paulo, não aconteceu nada de novo. Ele permaneceu em seu referencial inicial e José retornou na mesma velocidade em que partiu. Portanto, Paulo mediu o tempo da viagem de volta em 15 horas de acordo com seu referencial (o mesmo da viagem de ida) e vê que a viagem demorou 12 horas para José. Já da perspectiva de José, ele viu uma grande mudança. Ele mudou de referencial: indo do referencial de ida para o referencial de volta. Agora, no início da viagem de retorno, quando José olha seus relógios, vê que o seu relógio marca 12 horas e o de Paulo marca 20,4 horas. Pense um pouco nisso. José agora vê que o relógio do Paulo pulou de 9,6 horas para 20,4 horas. Como isso é possível???? Quando José mudou do 2º referencial para o 3º, a simetria estabelecida entre eles foi quebrada. Assim, cada um visualiza seu próprio tempo como se nada tivesse mudado. E como foi José quem mudou de referencial, na verdade, ele visualizou um maior tempo passado para o Paulo. E daqui em diante, o resto é como você já sabe, a viagem de retorno marca 12 horas para José, mas ele observa que 9,6 horas se passaram para seu irmão. Mais uma vez, vamos esclarecer esse problema.

Totais do 3º referencial:

Paulo mede seu tempo como 15 horas, mas mede o de José como 12. José mede seu tempo como 12 horas, mas mede o de Paulo como 9,6. Lembre-se, esse valor de 9,6 só vale para a viagem de retorno após a mudança de referencial.

Totais da viagem:

Paulo mediu seu tempo total como 15 horas para a viagem de ida + 15 horas para a viagem de volta, totalizando 30 horas.
Paulo observou o tempo de José como 12 horas para a viagem de ida + 12 para a viagem de volta, totalizando 24 horas.
José marcou seu tempo como 12 horas para a viagem de ida + 12 horas para a viagem de volta, totalizando 24 horas.
E José observou o tempo de Paulo como 20,4 horas (após a viagem de ida e mudança de referencial) + 9,6 horas para a viagem de volta, totalizando 30 horas.

Você consegue encontrar quaisquer eventos em que os dois estão de acordo quanto ao próprio tempo e ao tempo do outro? A resposta é não. A falta de simultaneidade é o segredo desse paradoxo. Os gêmeos estão medindo e observando. Mas infelizmente, eles não estão medindo e observando os mesmos eventos. É impossível que eles pensem no final da viagem de ida de forma simultânea, quando cada um a observou ocorrendo em tempos diferentes para Paulo. Mas é interessante perceber que os resultados são os mesmos obtidos quando olhamos o experimento usando o Efeito Doppler Relativístico. Será que há um padrão aqui? A Relatividade Especial permite o uso de vários métodos para resolver esses problemas. Nesse caso, o uso de diagramas do espaço-tempo (lá vêm essas palavras de novo!) mostraria claramente cada um dos pontos de que falamos. Mas preferi usar as Transformações de Lorentz em combinação com o Efeito Doppler Relativístico.

Muitas pessoas têm dificuldades com o paradoxo dos gêmeos devido à maneira usada para lidar com o referencial. Nesse caso, o salto medido no relógio de José para o de Paulo após a mudança de referencial (de 9,6 para 20,4 horas) é que é o problema. Na verdade, não há problema nenhum aqui. Se você quiser integrar a aceleração para usar vários referenciais inerciais durante a virada para a viagem de volta, não há problema nenhum (os resultados serão os mesmos). Outra abordagem comum é imaginar mais alguém no espaço, que passa por José no exato momento em que ele atinge o ponto em que deve fazer a volta. Esta pessoa está indo na direção de Paulo com a mesma velocidade em que José estava viajando, o que significa que não é mais necessário levar José em consideração. Mas o fato principal é que se voltássemos usando o referencial desse substituto e olhássemos o relógio que mede o tempo do Paulo, ele mostraria que uma quantidade de tempo já tinha sido gravada quando o substituto começou sua viagem na direção de Paulo. Quanto tempo deveríamos retornar? Já que José viajou 12 horas na viagem de ida, deveríamos voltar 12 horas no referencial do substituto. Neste ponto inicial para o substituto, seu relógio, que mede o tempo de Paulo, marcaria 10,8 horas e isso é extremamente importante, pois mostra claramente que os gêmeos, ou o gêmeo e o substituto vêem o outro com tempos mais lentos. A grande mudança ocorre quando o referencial se altera. Isso significa que os dois observam o outro com tempos mais lentos durante a viagem de ida e de volta, mas há uma alteração durante a mudança de referencial que mais do que compensa a contabilidade que José tinha para o relógio lento de Paulo. Após a alteração de referencial, o estrago já foi feito. José ainda vai achar que o relógio de Paulo está mais lento, mas ele nunca diminui o bastante para compensar as 10,8 horas que foram percebidas durante a mudança de referencial. Esse salto no tempo é uma ocorrência física? Não. Este salto ocorre porque, quando muda o referencial de José, ele não usa mais o mesmo evento como referência. Quando José fez a volta, o evento no referencial de Paulo, que José pensava ser simultâneo com essa virada, mudou. O referencial de José criou essa confusão porque seu novo referencial usa um tempo diferente para o evento no referencial de Paulo. De maneira mais clara, o evento da virada no referencial de Paulo tem um tempo diferente do valor para a viagem de volta e para a viagem de ida, levando-se em consideração o ponto de vista de José. Perceba que nas menções feitas acima sobre o referencial de Paulo, estou falando, na verdade, sobre o que José pensa que seria o referencial de Paulo. Essa diferença de tempo só é aparente para José porque a sua mudança de referencial é que causa a discrepância. Levando-se em conta o referencial de Paulo, não há nenhuma mudança quando José muda de referenciais. Mais uma vez, ao perceber que os dois eventos não são simultâneos, é possível resolver o paradoxo. O que estou tentando enfatizar aqui é que há diferentes maneiras de encarar o paradoxo e todos chegam ao mesmo resultado. Mas se você levar em consideração a simultaneidade da situação, tudo fica mais claro.

Viagens no tempo
Agora que você conhece os conceitos da teoria, vamos dar uma olhada rápida na relação existente entre as viagens no tempo e a Relatividade Especial. Se você pensar no resultado do paradoxo dos gêmeos, vai ter de concordar que é possível viajar para o futuro, mesmo com as velocidades com que nossos astronautas viajam atualmente. Mesmo que ganhem somente uns poucos nanossegundos, o tempo da Terra estará à frente do tempo do seu sistema quando retornarem. O que significa que retornaram ao futuro. Mas no que diz respeito a viagens ao passado, a Relatividade Especial não é tão generosa quanto com as viagens ao futuro. Vamos dar uma olhada nessa abordagem.

Muitas mentes criativas já se perguntaram se, já que o tempo diminui sua velocidade conforme nos aproximamos da velocidade da luz, seria possível viajar para o passado caso encontrássemos um jeito de ultrapassar esta velocidade? Mas a verdade é a seguinte: se eu acreditar que a relatividade especial está certa, também tenho de acreditar que os seguintes eventos aconteceriam. Para viajar mais rápido do que a velocidade da luz, suponho que haveria um momento, antes de ultrapassá-la, em que você a igualaria. Por exemplo, não dá para viajar a 81,6 km/h sem ter passado pelos 80 km/h em algum ponto. Digo isso partindo do princípio de que você começou o movimento a uma velocidade inferior a 81,6 km/h. Pois é, a Relatividade Especial nos diz que quando algo atinge a velocidade da luz, o tempo pára, sua extensão se contrai até 0 e sua resistência à aceleração se torna infinita, o que também requer energia infinita (lembre-se de que estamos observando tudo isso de um referencial que não está em movimento com o sistema). O problema aqui é que essas condições não parecem ser muito convidativas à vida, e, tendo isso em mente, minha conclusão é que as viagens ao passado ainda têm de resolver vários problemas para serem possíveis, à luz da Relatividade Especial. />